Similaarinen matriisi

Similaarinen matriisi on matematiikan termi, jolla viitataan matriisien tietynlaiseen samankaltaisuuteen. Neliömatriisit $A$ ja $B$ ovat similaarisia, jos on olemassa kääntyvä ei-singulaarinen matriisi $P$ siten, että $P^{-1}AP=B$.

Sitä, että matriisi $A$ on similaarinen matriisin $B$ kanssa, merkitään $A$∼$B$. Matriisien similaarisuus on ekvivalenssirelaatio.

Esimerkki

Olkoon matriisit $A$ ja $B$:

$A={\begin{bmatrix}1&2\\0&-1\\\end{bmatrix}}$ ja $B={\begin{bmatrix}1&0\\-2&-1\\\end{bmatrix}}$.

Tällöin matriisit $A$ ja $B$ ovat similaarisia, koska on olemassa kääntyvä matriisi $P$:

$P={\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\\\end{bmatrix}}$, jonka käänteismatriisi on $P^{-1}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\\\end{bmatrix}}$.

Näille matriiseille pätee

$P^{-1}AP=B$ ja $PBP^{-1}=A$, eli matriisit $A$ ja $B$ ovat similaarisia.

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).